anım: aralığını özelliğini sağlayan noktaları yardımıyla n tane a aralığa bölelim.
kümesine aralığının bir parçalanması veya bölüntüsü denir.
........... aralıklarına ’nin P parçalanmasına karşılık gelen kapalı alt aralıkları
............ aralıklarına da açık alt aralıkları denir.
sayısına aralığının boyu veya ölçüsü denir. Alt aralıkların boylarının en büyüğüne P parçalanmasının normu veya maksimal çap denir. ile gösterilir. Şu halde;
’dir.
Eğer tüm alt aralıkların boyları birbirine eşit ise bu parçalanmaya düzgün parçalanma denir.
Bir aralığının sonsuz çoklukta parçalanması vardır. Bu parçalanmalardan bazılarını karşılaştırmak mümkündür.
Tanım: aralığının iki parçalanması ve olsun. Eğer ise parçalanması ’den daha ince veya daha sıktır denir.
Örnek: aralığının iki parçalanması ve olsun. Bu iki parçalanmayı ve bu parçalanmaların normlarını karşılaştırınız.
Çözüm: olduğundan ’den daha incedir.
olduğundan > ’dir.
Bir aralığının parçalanmaları için ise olacağı açıktır. Yani parçalanma inceldikçe normu küçülür. ’nin sıfıra yaklaşması demek her bir alt aralığın boyunun sıfıra yaklaşması ve dolayısıyla alt aralıkların sayısı olan n’nin sınırsız olarak büyümesi yani değerine yaklaşması demektir. Bunun karşıtı doğru değildir. Yani olması ’nin sıfıra yaklaşmasını gerektirmez.
Örnek: parçalanması göz önüne alındığında için olur. Dolayısıyla için dır.
Sonuç: Eğer P parçalanması düzgün ise bu takdirde önermesi doğrudur.
Tanım: f fonksiyonu sürekli olsun. aralığının parçalanması için

olsun.
ve toplamlarına sırası ile f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen alt toplamı ve üst toplamı adı verilir.
alt aralığında alınan herhangi bir nokta olmak üzere
toplamına f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen bir Riemann toplamı denir.
Riemann toplamı noktalarını seçilişine bağlıdır.
(III. grafikte olarak aralığının orta noktaları alınmıştır.)
Her P parçalanması için
olacağı açıktır.

Parçalanma inceldikçe alt toplamlar artar üste toplamlar azalır. Bazı fonksiyonlar için üst ve alt toplamla farkı sıfıra yaklaşır. Bu durumda ve toplamları aynı bir I sayısına yaklaşır.
olduğunda eğrisi 0x-ekseni ve doğruları arasında bir sayıdır.
Örnek: fonksiyonunun parçalanmasına karşılık gelen alt ve üst toplamlarını bulunuz. eğrisi 0x-ekseni ve doğruları arasında kalan bölgenin alanı hangi sayılar arasındadır? Aynı soruları parçalanması için cevaplandırınız.
Çözüm: fonksiyonu aralığında arta olduğundan aralığında en küçük değerini en büyük değerini noktasında alır.